Normale Schulmathematik

$$ (p_x,p_y)+(q_x,q_y)=(p_x+q_x,p_y+q_y) $$

Die Punkte einer Ellipse um den Ursprung mit den Halb?achsen $ a $ und $ b $ lassen sich mit den Koor?di?naten $ (a \cdot \cos(n_a\cdot t),b\cdot\sin(n_b\cdot t)) $ mit $ t\in [0,2\pi)\cong[0°,360°) $ beschreiben.

Die Punkte einer Ellipse um den Ursprung mit den Halb?achsen $ a $ und $ b $ lassen sich mit den Koor?di?naten $ (a \cdot \cos(n_a\cdot t),b\cdot\sin(n_b\cdot t)) $ mit $ t\in [0,2\pi)\cong[0°,360°) $ beschreiben.

Die Punkte einer Lissajous-Figur um den Ursprung mit den Halb?achsen a und b lassen sich mit den Koor?di?naten $ (a \cdot \cos(n_a\cdot t),b\cdot\sin(n_b\cdot t)) $ mit $ t\in [0,2\pi)\cong[0°,360°) $ beschreiben. Sind? $ n_a $ und? $ n_b $ ganze Zahlen, ist die Figur geschlossen. Man bedenke dabei die M?glichkeit, dass die sichtbare Kurve mehrfach durchlaufen wird!

$$ A\cdot x+B\cdot y + C =0 $$ mit $ A^2+B^2=1 $ . Setzt man in den Term $$ A\cdot x + B\cdot y + C $$ einen belie?bi?gen Punkt $ (x,y) $ ein, so lie?fert er den Abstand des Punk?tes von der Geraden.

$$ y(x) = a\cdot x^2 + b\cdot x + c $$

$$ y(x) = \frac{a}{x} + c $$

Beim 'Füllen' eines geschlos?senen Poly?gons stellt sich für jeden Bild?punkt die Frage, ob er inner?halb oder au?er?halb des Poly?gons liegt; nur die inne?ren Punkte werden farbig markiert. Ein m?g?licher Algo?rith?mus sagt: ?Ein Punkt liegt innen, wenn jeder Weg ins Unend?liche das Poly?gon queren muss” (das Poly?gon bildet um den Punkt herum eine geschlos?sene Linie).

Der Even-Odd-Algo?rith?mus hin?gegen z?hlt die Schnitt?punkte eines belie?bigen, vom Punkt aus?ge?hen?den Strahls mit dem Poly?gon: ist die Anzahl gerade (engl. 'even'), liegt der Punkt au?er?halb, ist sie unge?rade (engl. 'odd'), liegt er inner?halb. Dadurch kann die fl?chige Fül?lung eines ge?schlos?se?nen Poly?gons 'L?cher' be?kom?men, wenn sich das Poly?gon selbst schneidet.

Man definiert die kom?plexe Ein?heit? $ i $ mit?tels der Eigen?schaft $ i^2=-1 $ . Objekte der Gestalt $ x+iy $ ( $ x $ , $ y $ reelle Zahlen) werden 'komplexe Zahlen' genannt. Mit $$ (x+iy)+(a+ib)=(x+a)+i(y+b) $$ und? $$ (x+iy)\cdot(a+ib)=(x\cdot a-y\cdot b)+i(y\cdot a+x\cdot b) $$ werden 'natürliche' Erwei?te?run?gen der reel?len Addi?tion bzw. Multi?pli?kation defi?niert.
Man kann die komple?xen Zahlen als Punkte einer Ebene auf?fassen: tr?gt man den Real?teil? $ x $ hori?zontal und den Ima?gi?n?r?teil $ y $ verti?kal (mit der Ein?heit $ i $ ) auf, so sieht man die Entsprechung zwischen den karte?si?schen Koor?di?naten $ (x,y) $ eines Punktes der Ebene und der kom?ple?xen Zahl $ x+iy $ . Alter?nativ kann man die gleiche Zahl in Polar?koor?di?naten schrei?ben: $$ r\cdot(\cos(\varphi)+i\cdot\sin(\varphi)) $$ Dabei ist der Betrag? $ r $ iden?tisch mit dem Wert $ \sqrt{(x^2+y^2)} $ . Das Argu?ment? $ \varphi $ ist der Winkel (im Bogen?ma?, also im Bereich $ [0,2\pi) $ ) zwischen der posi?ti?ven $ x $ -Achse und dem Strahl vom Ursprung zur Zahl $ x+iy $ (analog: zum Punkt $ (x,y) $ ) gemes?sen in mathe?ma?tisch posi?ti?ver Rich?tung (Gegen?uhr?zei?ger?sinn).